面向数控加工组合自由曲面过渡技术
在实际的产品设计中经常用到组合曲面。所谓组合曲面，就是将不同的曲面片以一定的方式连接起
来组成的曲面。组合曲面虽能方便地表达复杂的形状，但却带来另一个问题，这就是组合曲面中曲
面间的过渡问题。若想让单张曲面间满足特定的条件直接连接，这将是极端困难的，甚至是不可能
的。于是，人们采用在组合曲面间加入过渡面来处理曲面间的过渡问题。由于过渡面在产品的性能
、外观、加工等方面的重要作用，因此这方面的研究较多。虽然目前对曲面过渡问题研究较多，且
算法日臻完善，但它们都是仅仅从数学的角度对过渡问题进行研究，而没有考虑加工的要求，这样
建立的过渡面可能无法加工出来或者加工时必须增加换刀次数而使加工的效率降低。为此，本文拟
从数控加工的角度对曲面过渡技术进行研究。
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用曲面对组合曲面进行连接过渡时，过渡面与组合曲面间必需满足一定的光滑度(也称光顺性)要求
。目前，有两种不同的关于连接光顺性的度量：一种是传统的参数连续性，另一种为几何连续性。
参数连续性的定义是：当且仅当两曲面P(s, t)与Q (u,v)沿它们的正则公共连接线P(g)=Q (g)处处
具有直到n阶的偏导矢，则称它们沿该连接线具有n阶参数连续性或是Cn的连续性。而几何连续性的
定义是：两曲面P(s, t)与Q (u,v)沿它们的正则公共连接线P(g)=Q (g)具有n阶几何连续性或是Gn的
连续性。当且仅当其中是一可被重新参数化以使得它们沿该公共连接线具有n个参数连续性或是Cn的
连续性。人们在实践中逐步认识到，传统的参数连续性在度量非参数形式的曲面的光顺性时是恰当
的，但用于参数形式的曲面的光顺性时则是对光顺的不必要的过度限制，因此，它不能确切度量参
数曲面的光滑度。几何连续性是对参数连续性必要的松驰，也是对参数化的必要松弛，但决不是光
滑度的松驰，这样，它可以为形状定义和形状控制提供额外的自由度。因此，几何连续性是对参数
曲面光顺性比较理想的度量。考虑到现在参数曲面已成为自由曲面的标准表达形式，本文也采用几
何连续性处理过渡面与组合曲面之间连接的光滑性问题。而且综合考虑精度和效益原则，本文仅采
用G1及一阶几何连续性。该连续性可表达为：两曲面P(s, t)与Q (u,v)的沿它们的正则公共连接线
P(g)=Q (g)具有一阶几何连续性或是G1的连续性，当且仅当它们沿该公共连接线处处具有公共的切
平面或公共的曲面法线。
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如前所述，目前几何造型系统中的曲面过渡仅从数学的角度而没有考虑到数控加工的要求。本文提
出的面向数控加工的组合自由曲面的过渡技术不仅满足数学上的光顺性要求，更重要的是它考虑到
数控加工的特点。该曲面过渡技术主要包括以下几步。
对自由曲面的离散目前的研究较多，其算法也比较成熟，此处不做深入的分析。本文采用三角形离
散化方法对组合曲面进行离散，该方法的具体实现请参阅姚承弗所著的《Bezier 曲面的适应性细分
和三角形化的四叉树方法》。组合曲面经过离散后，求解它们的交线(用微线段近似表示)也是很容
易的，此处也不再赘述。
目前的组合曲面数控加工大体上有运算符法、区域加工法和截面法三种。其中截面法是将刀位轨迹
规划在一组相互平行的平面上，且通常是一组垂直于XY面的平面。该方法是组合曲面加工中最常用
的方法，它能够将组合曲面视为一个整体进行加工，刀具轨迹跨越整个组合曲面，加工效率较高。
故本文也针对该加工方法提出组合曲面的过渡方法。当采用垂直于XY面的平面截已经过离散的组合
曲面时，同样能方便地得出用微线段表示的截交线。
当求出组合曲面与平面的交线后，即可求出截平面与三角形片各边交点(各微线段的端点)处的曲面
的曲率。其求解过程为 Kn= j2 = Ldu2+2Mdudv+Ndv2
j1 Edu2+2Fdudv+Gdv2 (1)
式中Kn——曲面的法曲率
j1——曲面第一不变量，E=Pu·Pu，F=Pu·Pv，G=Pv·Pv
j2——曲面第二不变量，L=n·Puu，M=n·Puv，N=n·Pvv
得出法曲率之后，通过求解其极值，即可求出该点最大曲率。
求解极值公式为 KnE-L KnF-M =0 KnF-M KnG-N (2)
当组合曲面与截平面交线处曲面的曲率被求出之后，即可采用下面的公式计算下一个截平面与当前
截平面的间足巨为 l= {4(R+r)2(h+r)2-[r2+2Rr+(h+r)2]2}
(R+r)(h+r) (3)
式中l——两条相邻截平面的最大间距，mm
r——组合曲面上沿截平面的最小曲率半径，mm
R——球头刀具的球头半径，mm
h——允许的残余高度，mm
同时，记下当前截平面与组合曲面交线上曲面曲率最大的值。这样，即可得出各个截平面与组合曲
面的交线处曲面的曲率的最大值。
分析确定合理的组合曲面过渡半径当各个截平面处的曲率的最大值求出后，即可分析判断组合曲面
的过渡半径。在数控加工中，无干涉刀位轨迹的生成，尤其其中的轨迹的干涉检验与处理是最复杂
的环节。而刀具半径(此处指球头刀具)的选择和加工中换刀的次数是影响加工效率的两个最主要因
素。若单独考虑，刀具半径越大，加工效率越高；而换刀次数越少，加工效率越高。但对于给定的
曲面，选择的刀具半径越大，往往意味着换刀次数的增多。本文的目标是尽量使组合曲面不因增加
过渡面而降低效率。基于此，我们提出的过渡曲率半径准则如下：
如果 组合曲面对过渡曲率半径有明确的数值要求，则各截平面对应的过渡半径为要求的数值；否
则
如果 所有截平面对应的最大曲率中的最大者小于经济刀具的球头曲率，经济刀具就是最经济的刀具
，该刀具使加工效率最高，则各截平面对应的过渡半径为该刀具的球头半径；否则组合曲面在每个
截平面对应的过渡半径为该截平面对应的最大曲率的倒数。
B
得出组合曲面的各截平面对应的过渡半径后，我们首先用该曲率半径的圆弧将同一截平面对应的组
合曲面的截交线进行G1光滑圆角过渡，这样，我们便得到一系列圆弧，并记下各过渡圆弧段的起点
和终点，也即过渡圆弧和组合曲面截交线的交点，这些起点和终点的连线即为组合曲面与过渡面的
公共连接线。之后我们采用曲面拟合技术对此一系列圆弧进行拟合得出要求的过渡面。本文采用三
次准均匀B样条曲面作为拟合面的形式。如前所述，本文采用G1连续性作为组合曲面和过渡面的光顺
准则。该准则表达如下：两曲面P(s, t)与Q (u,v)沿它们的正则公共连接线P(g)=Q (g)具有一阶几
何连续性或是G1的连续性，当且仅当它们沿该公共连接线处的不相重合的四个切矢Ps(g) ，Pt(g),
Qu(g)和Qv(g)应当共面，该共面条件在数学上可表达为(Ps×Ps)×(Qs×Qs)=(Ps，Pt，Qv)Qu-
(Ps，Pt，Qv)Qu=0。由于B样条曲面的局部修改性，所以可单独将过渡面与组合曲面的各个面分别进
行已光滑过渡。过渡时，首先在每段圆弧段上取若干点，且为了方便，在各个圆弧上的点数应相同
；然后以圆弧段方向为：u方向，以各个圆弧段上对应点的连线为v方向；之后采用B样条反求算法求
出对应的控制点。最后，根据上面提及的G1光滑条件，对控制点稍作变动即可拟合出满足条件的过
渡面。
3
本文提出的面向数控加工的曲面过渡技术从数控加工的角度对组合曲面的过渡技术进行了深入系统
的研究并提出了相应的算法。它避免了传统的曲面过渡技术纯粹从数学的角度而没有考虑加工的可
行性和效率的缺点，不但使生成的过渡面可满足光顺性的基本要求，而且使在对其进行加工时尽量
减少了换刀的次数，提高了加工的效率。这为曲面过渡技术提供了新的思路，同时有利于CAD/ CAM
一体化的进程。